[ELNW-v] 03 Schaltvorgänge
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"공부하면서 더 오래 상기시키기 위해 여기에 짧은 요약을 씁니다."
글이나 내용의 출처는 보통 하단에 있습니다.
• 고려된 전류 및 전압 곡선은 주기적이지 않습니다.
예를 들면, 소비자(Verbrauchers)의 연결을 끊거나 연결할 때
• 그리드에 에너지 저장 장치가 없으면 다음과 같은 즉각적인 전환이 발생합니다.
예를 들면, 저항 전압 분배기에서 저항 부하를 켤 때
• 네트워크에 에너지 저장 장치가 있는 경우 네트워크에는 다음과 같은 전환 기간이 필요합니다.
예를 들면, 커패시터를 충전할 때
00 용어 정의 (Begriffsdefinitionen)
• 정상 상태(stationärer Zustand): 전환 작업 전 또는 후에 정상 상태
• 균형 과정(Ausgleichsvorgang): 하나의 정상 상태에서 다른 정상 상태로 전환
• 스위치(Schalter): 스위치는 이상적이라고 가정한다. 즉,
스위치는 즉시 전환됨
\(R_{auf}\rightarrow\infty, R_{zu}=0\)
매우 높은 전압 및 전류를 견딜 수 있음
• DGL(ODE)는 미분 방정식의 약자이다.
• 전압 \(u_x\) 의 시간 도함수에 대한 표기법
\[\frac{du_x}{dt}=\frac{d}{dt}u_x=\dot{u}_x\]01 DC 전압을 사용하는 네트워크의 스위칭과정 (Schaltvorgang in Netzwerken mit Gleichspannung)
01-1 커패시터 방전 Entladen eines Kondensators
정지 상태:
• 전원 끄기 전 상태: 𝑡 < 𝑡0
• 전원이 꺼진 후 오랜 시간이 지난 상태: 𝑡 → ∞
균형 과정(Ausgleichvorgang)은 𝑡 = 𝑡0에서 시작.
1) 스위치를 올리기 전과 후
• 𝑡 ≤ 𝑡0의 경우:
메쉬 방정식(Maschengleichung): \(U = u_R + u_C\)
커패시터 𝐶가 충전됨
전류 흐름 없음 \(i_R=i_C=0\)
왜냐하면 \(u_R=R\cdot i_R \rightarrow u_R = 0\)
따라서 \(u_C = U\) 이다.
• 𝑡 > 𝑡0의 경우:
\[0=u_R + u_C = R\cdot i_R + u_C = R \cdot i_C + u_C\]이렇게 정리할 수 있다.
커패시터에는 다음과 같이 적용된다: \(i_C = C\frac{du_C}{dt} = C\dot{u}_C\)
따라서 다음은 미분방정식(DGL, ODE)의 균형 과정(Ausgleichsvorgang)이다.
Maschengleichung은 전기회로의 법칙 중 하나로, 회로의 모든 루프(링)에 대한 전압합이 0이 되어야 한다는 원리다. 수식적으로는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
k: 루프(링)의 번호
\(U_K\) : 해당 루프(링)를 따라 일어나는 전압 차이
2) 동차 선형 미분방정식
\[0=R\cdot C\frac{du_C}{dt}+u_C\]• 모든 항들이 \(𝑢_C\) 또는 그것의 미분에 의존한다. -> 동차 선형 미분방정식(homogene Differentialgleichung)
따라서 \(𝑢_C = 𝑘 \cdot e^{pt}\) 을 대입하면,
\(0=RC\cdot\frac{d}{dt}(k\cdot e^{pt})+k\cdot e^{pt}\) \(0=RC\cdot kp \cdot e^{pt} + k\cdot e^{pt}\) \(0=(RC\cdot + 1)\cdot k \cdot e^{pt}\)
• \(𝑘 \cdot e^{𝑝𝑡}\) 는 0이 아니므로 괄호 안의 부분이 0이 되어야 한다.
\[0 = RC\cdot p +1 \rightarrow p = -\frac{1}{RC} = -\frac{1}{\tau}\]3) 동차 선형 미분방정식(homogene Differentialgleichung)의 풀이
• 이제 𝑝를 𝜏로 바꿔쓸 수 있음: \(𝑢_C=𝑘\cdot e^{𝑝𝑡}=𝑘\cdot e^{−𝑡/𝜏}\)
• 𝑘를 결정하려면 조건을 하나 더 고려해야 한다.
• 이것은 시간 \(𝑡=𝑡_0\) 에서 \(𝑢_C\) 에 대한 초기 조건으로 가능하다.
따라서…
\(𝑢_C(𝑡=𝑡0)=𝑘\cdot e^{−𝑡_0/𝜏}=𝑈\)
\(𝑘=𝑈\cdot e^𝑡0/𝜏\)
• 따라서 동차 선형 미분방정식은 다음과 같이 변형된다.
\(𝑢_C=𝑈\cdot e^{𝑡0/𝜏}\cdot e^{−𝑡_0/𝜏}=𝑈\cdot e{−(𝑡−𝑡_0)/𝜏}, 𝑡−𝑡0≥0\)
• 𝜏는 시간상수(Zeitkonstante)이며, 이 경우 𝜏=𝑅∙𝐶
𝜏 값이 클수록 커패시터를 충전 또는 방전하는 과정이 느려진다. 𝜏이 작아질수록 커패시터를 완전히 충전하거나 방전하는 데 걸리는 시간이 줄어든다.
01-2 방전 중 전압 곡선 Spannungsverlauf bei der Entladung
\[u_C = U\cdot e^{-\frac{t-t_0}{𝜏}}, 𝑡−𝑡0≥0\]
01-3 방전 중 전류 곡선 Stromverlauf bei der Entladung
\[i_c = C\frac{du_C}{dt} = C\frac{d}{dt}(U\cdot e^{-(t-t_0)/𝜏}), 𝑡−𝑡_0≥0\] \[-\frac{CU}{𝜏}\cdot e^{-(t-t_0)/𝜏=-\frac{U}{R}\cdot e^{-(t-t_0)/𝜏}}\]
01-4 커패시터 충전(Aufladen eines Kondensators)
정지 상태:
• 전원 끄기 전 상태: 𝑡 < 𝑡0
• 전원이 꺼진 후 오랜 시간이 지난 상태: 𝑡 → ∞
균형 과정(Ausgleichvorgang)은 𝑡 = 𝑡0에서 시작.
1) 스위치를 올리기 전과 후
\(t≤t_0\) 일 때:
커패시터 𝐶가 충전되지 않음: \(u_C = 0\)
\(t→∞\) 일 때:
커패시터 𝐶가 충전됨
전류 흐름 없음, \(𝑢_C(𝑡)\) 더 이상 변경되지 않음
\(t>t_0\) 일 때:
\[𝑈 = 𝑢_R + 𝑢_C = 𝑅 \cdot 𝑖_R + 𝑢_C = 𝑅 \cdot 𝑖_C + 𝑢_C\]커패시터에는 다음이 적용된다: \(i_C = C \frac{du_c}{dt} = C\dot{u}_C\)
따라서 다음은 미분방정식(DGL, ODE)의 균형 과정(Ausgleichsvorgang)이다.
\[U = R \cdot C \frac{du_C}{dt}+u_C\]2) 비동차 선형 미분방정식(imhomogene Differentialgleichung)의 풀이
\[U = R \cdot C \frac{du_C}{dt}+u_C\]𝑈는 \(𝑢_C\) 또는 그 미분에 의존하지 않는다. –> 비동차 선형방정식(inhomogene DGL)
따라서 \(u_C\) 는 동차 선형 미분방정식 부분과 비 동차적 특수해 부분으로 나눌 수 있다.
\[u_C = u_{Ch} + u_{Cp}\]동차 선형 미분방정식(homogener Teil der DGL):
(초기부분의 과도응답을 설명 Einschwingverhalten, wenn Erregung=0)
비동차적 특수해(partikulärer Teil der DGL):
(최종 끝부분을 설명 Endzustand)
3) 미분방정식(homogene Differentialgleichung)의 풀이
동차 선형 미분방정식(homogener Teil der DGL):
(방전상태와 동일한 풀이)
비동차적 특수해(partikulärer Teil der DGL):
(DC 여기로 인해 최종 상태 𝑡→∞, 미분 = 0)
임시 해는 다음과 같다.
\[𝑢_C=𝑢_{Ch}+𝑢_{Cp}=𝑘\cdot e^{−𝑡/𝜏} + 𝑈\]k를 정하기 위해서 시간 \(t = t_0\) 일 때의 \(u_C\) 를 이용함.
\[u_C(t=t_0) = k \cdot e^{-t_0/𝜏}+ U != 0\] \[k = -U \cdot e^{t_0/𝜏}\]따라서 결과는 다음과 같다:
\[u_C = -U \cdot e^{t_0/𝜏} \cdot e^{-t/𝜏} + U, \cdots t-t_0≥0\] \[= U(1-e^{-(t-t_0)/𝜏})\]01-5 충전 중 전압 곡선 Spannungsverlauf bei der Aufladung
\[u_{C} = U(1-e^{-(t-t_0)/𝜏}), \cdots t-t_0≥0\]
01-6 충전 중 전류 곡선 Stromverlauf bei der Aufladung
커패시터 양단의 전압은 꾸준히 증가하므로
\[\begin{align} & i_C = C\frac{du_C}{dt} = C\frac{d}{dt}U(1-e^{-\frac{t-t_0}{𝜏}}), \cdots t-t_0≥0 \\ & \;\;\;\; =\frac{CU}{𝜏} \cdot e^{-(t-t_0)/𝜏} = \frac{CU}{RC}\cdot e^{-(t-t_0)/𝜏} \\ & \;\;\;\; =\frac{U}{R}\cdot e^{-(t-t_0)/𝜏} \end{align}\]전류는 𝑈/𝑅 값으로 점프한 다음 다시 감소한다
01-7 동차/비동차 선형방정식 정리
미분 방정식의 해는 두 부분으로 구성: 동차 선형 미분방정식 부분과 비 동차적 특수해 부분
동차 선형 미분방정식(homogener Teil der DGL): 동차 선형 미분방정식의 해는 동적 전송 동작과 안정성을 설명
\[RC\frac{du_h(t)}{dt}+u_h(t) = 0\]비동차적 특수해(partikulärer Teil der DGL): 비동차적 특수해는 고정된 최종 상태에서 전송 동작을 설명
\[RC\frac{du_p(t)}{dt}+u_p(t) = U\]02 AC 전압을 사용하는 네트워크의 스위칭 프로세스 (Schaltvorgang in Netzwerken mit Wechselspannung)
02-1 RL회로 직렬연결 (Einschalten einer RL-Reihenschaltung)
균형 과정(Ausgleichsvorgang) 𝑡 = 𝑡0으로 시작
RL 시리즈 연결에 AC 전압이 적용 : \(\hat{u} cos(\omega t + \varphi_u)\)
미분 방정식 설정
메쉬 순환을 이용하여 다음과 같은 방정식을 얻는다.
\[\begin{align} &-\hat{u} cos(\omega t + \varphi_u) + u_L(t) + u_R(t) = 0 \\ &-\hat{u} cos(\omega t + \varphi_u) + L \frac{di_L(t)}{dt} + Ri_L(t) = 0 \end{align}\]\(𝑖_L\) 의 해는 균질부분과 미립부분으로 구성되어 있다.
\[\begin{align} & i_L(t) = i_{Lh}(t) + i_{Lp}(t) \\ & L\frac{d}{dt}(i_{Lh}(t)+i_{Lp}(t)) + R(i_{Lh}(t)+i_{Lp}(t)) = \hat{u} cos(\omega t + \varphi_u) \end{align}\]𝑡→∞ 경우 동차 선형 미분방정식 부분이 남아 있다.
\[L\frac{d}{dt}i_{Lp}(t)+Ri_{Lp}(t) = \hat{u} cos(\omega t + \varphi_u)\]동차 선형 미분방정식부분:
\[L\frac{d}{dt}i_{Lh}(t)+ Ri_{Lh}(t) = 0\]02-2 균일해와 특수해 (homogene und partikuläre Lösung)
02-2-1 (비동차적) 특수해(partikulärer Teil der DGL)
𝑡 → ∞로 고정된 경우 복소수 계산으로 특수해를 구할 수 있다.
\[u(t) = \hat{u} cos(\omega t + \varphi_u)\]접근방법: komplexer Zeiger
\[\hat{u} cos(\omega t + \varphi_u) = Re\{\hat{u} e^{j(\omega t + \varphi_u)}\}\]고정된 경우이므로 복소진폭은 다음과 같다.
\[\underline{\hat{u}} = \hat{u} e^{j(\varphi_u)}\]전류는 다음과 같다.
\[\underline{\hat{i}}_L = \hat{i}_L e^{j(\varphi_i)}\]복소수 인피던스 계산:
\[\underline{Z} = R + j \omega L = \mid \underline{Z} \mid e^{j\varphi_Z} = \mid \underline{Z} \mid e^{j(\arctan(\frac{\omega L}{R}))}\]\(\mid \underline{Z} \mid = \sqrt{R^2+\omega^2L^2}\) 이므로,
\[\underline{\hat{i}}_L = \frac{\underline{\hat{u}}}{\underline{Z}} = \frac{\hat{u}}{\mid \underline{Z} \mid}e^{j(\varphi_u-\varphi_Z)}\]\(i_L(t)=Re{\underline{\hat{i}}_L e^{j\omega t}}\) 이기 때문에 특수해는 다음과 같다.
(비동차적) 특수해:
\[i_{Lp}(t) = \frac{\hat{u}}{\sqrt{R^2+\omega^2L^2}}\cos(\omega t+\varphi_i)\]mit \(\varphi_i = \varphi_u - arg(\underline{Z}) = \varphi_u - arctan(\frac{\omega L}{R})\)
02-2-2 (동차적) 균일해(Homogene Lösung)
\[L\frac{d}{dt}i_{Lh}(t)+Ri_{Lh}(t) = 0\]접근방법: \(i_{Lh}(t)=ke^{pt}\)
적용하면, \(Lpke^{pt}+Rke^{pt} = (Lp + R)ke^{pt} = 0, \cdots \cdots ke^{pt} ≠ 0\)
따라서 p는: \(Lp+R=0\) 이어야 하므로, \(p = -\frac{R}{L}\)
균일해는 다음과 같다.
\[i_{Lh}(t) = ke^{(R/L)t} = ke^{-t/𝜏}\]위 식에서 𝑡→∞ 인 경우, 𝜏=𝐿/𝑅가 되며, 𝜏는 시간상수가 된다.
k는 경계조건(Randbedingungen)에 의해 결정되는데
\(t = t_0\) 일 때, \(i_L(t_0) = 0\) 이므로,
\[\begin{align} & i_L(t_0) = i_{Lh}(t_0) + i_{Lp}(t_0) \\ & \;\;\;\;\;\;\;\;\; = k e^{-\frac{t_0}{𝜏}} + \hat{i}\cos(\omega t_0 + \varphi_i) = 0 \\ & \;\;\;\;\;\;k = -\hat{i}\cos(\omega t_0 + \varphi_i) \cdot e^{\frac{t_0}{𝜏}} \end{align}\]02-2-3 Gesamtlösung
소스전압(Quellenspannung)이 \(u(t) = \hat{u}cos(\omega t + \varphi_u)\) 일 때, 스위칭프로세스 후(𝑡≥𝑡0) 전류흐름은 다음과 같다:
\[\begin{align} & i_L(t) = i_{Lh}(t) + i_{Lp}(t) \\ & i_L(t) = -\hat{i}\cos(\omega t_0 + \varphi_i) e^{-\frac{(t-t_0)}{𝜏}} + \hat{i} cos(\omega t + \varphi_i) \end{align}\]mit \(\varphi_i = \varphi_u - arg(\underline{Z}) = \varphi_u - archtan\frac{\omega L}{R}, \;\cdots\; 𝜏=𝐿/𝑅\)
Gesamtlösung
Bsp.: \(u(t) = 10 V cos(\omega t + 0), \;\; f = 50 Hz,\;\; t_0 = 2,5ms,\;\; R=100Ω\)
02-2-4 혼합 소스 유도 부하(Induktive Last an Gemischter Quelle)
내부 저항이 있는 전체 소스로 변환할 수 있다.
다음과 같은 DGL값을 얻을 수 있다.
\[\frac{L}{R}\frac{d}{dt}i_L(t)+i_L(t)=\frac{u_f(t)}{R}\]특수해(die partikuläre DGL): \(𝜏\frac{d}{dt}i_{Lp}(t)+i_{Lp}(t) = \frac{u_f(t)}{R}\)
균일해(die homogene DGL): \(𝜏\frac{d}{dt}i_{Lh}(t)+i_{Lh}(t) = 0\)
또한 \(u_f(t) = 10 V cos(\omega t)\) 라면,
특수해 방법 (partikulärer Lösungsansatz):
\[i_{Lp}(t) = \hat{i}\cos(\omega t + \varphi_i)\]03 여러 에너지 저장 장치가 있는 네트워크(Netzwerk mit Mehreren Energiespeichern)
네트워크에는 여러 개의 에너지 저장 장치가 포함될 수 있다. 이 경우, 각 에너지 저장 장치는 독립적인 시간상수를 가진다. 이러한 시간상수는 각 저장 장치의 내부 저항과 커패시턴스 또는 인덕턴스에 의해 결정된다.
에너지 저장 장치가 여러 개인 경우, 해당 회로의 미분 방정식은 여러 변수를 포함하게 된다. 따라서 일반적으로 각 에너지 저장 장치의 초기 조건이 필요하다.
03-1 DC 전압을 사용하는 RLC 시리즈 공진 회로 RLC-Reihenschwingkreis an Gleichspannung
직렬 공진 회로를 시간 𝑡 = 0에서 DC 전압 𝑈으로 전환
03-2 DGL 설정(Aufstellen der DGL)
메시 순환(Maschenumlauf):
\[𝑢_L+𝑢_R+𝑢_C=𝑈\]각각 다음 관계가 적용:
\[i = C\frac{du_C}{dt}, \;\;\; u_R=R\cdot i=RC\frac{du_C}{dt}, \;\;\; u_L=L\frac{di}{dt}=LC\frac{d^2u_C}{dt^2}\]적용 후 결과는 다음과 같음:
\[LC\frac{d^2u_C}{dt^2}+RC\frac{du_C}{dt}+u_C = U\]미분 방정식으로 정리(Differenzialgleichung in Normalform:):
\[\frac{d^2u_C}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{du_C}{dt}+\frac{1}{LC}u_C = \frac{U}{LC}\]03-3 특수해(partikuläre Lösung)
• 입력전압 𝑈은 직류전압이다.
• 𝑡→∞ 인 경우:
– 𝐿는 단락으로 대체됨.(𝐿 wird durch Kurzschluss ersetzt) « 저항이 없는것과 마찬가지
– 커패시터 양단의 전압은 𝑈
– 전류 𝑖 사라짐
• 균일해는 다음과 같다.
\[u_cp(t) = U, \;\;\;\;\;\; i_{Lp}(t)=0\]종합하면,
\[u_C(t) = u_{Ch}(t) + U\]03-4 균일해(homogene Lösung)
\[\begin{align} u_{Ch}(t) = ke^{𝑝t} \; in \; \frac{d^2u_C}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{du_C}{dt} + \frac{1}{LC}u_C = 0 &\\ 𝑝^2k e^{𝑝t}+\frac{R}{L}pke^{𝑝t} + \frac{1}{LC}ke^{𝑝t} = 0 &\\ \left( 𝑝^2+\frac{R}{L}p + \frac{1}{LC} \right) \cdot k e^{𝑝t} = 0& \end{align}\]die charakteristische Gleichung:
\[𝑝^2+\frac{R}{L}𝑝+\frac{1}{LC}=0\]다음과 같은 해(고유값_Eigenwerte)가 있다:
\[𝑝_1 = -\frac{R}{2L}+\sqrt{\frac{R^2}{4L^2}-\frac{1}{LC}}\] \[𝑝_2 = -\frac{R}{2L}-\sqrt{\frac{R^2}{4L^2}-\frac{1}{LC}}\]• 감쇠 상수(Abklingkonstante):
• 공진 각 주파수(Resonanzkreisfrequenz):
따라서 다음과 같이 바꿀 수 있다:
\[𝑝_1 = -𝛿 + \sqrt{𝛿^2-\omega^2_0}\] \[𝑝_2 = -𝛿 - \sqrt{𝛿^2-\omega^2_0}\]루트에 필요한 경우들의 구분 Fallunterscheidung für die Wurzel notwendig
공진 주파수(Resonanzkreisfrequenz) 𝜔는 회로가 진동을 가장 잘 유지할 수 있는 주파수다. 이 값은 회로의 캐패시터와 인덕턴스에 의해 결정된다. 공진 주파수에서 회로의 저항이 작을수록(또는 0에 가까울수록), 진폭은 커진다.
03-5 주기적인 경우 (Periodischer Fall)
\(𝛿^2<𝜔^2_0\) 인 경우, (\(\Rightarrow \frac{R^2}{4L^2}-\frac{1}{LC}<0\) )
mit: \(p_1=-𝛿+j𝜔_d, \;\; p_2=-𝛿-j𝜔_d, \;\; 𝜔_d = \sqrt{𝜔^2_0-𝛿^2}\)
균일해 Homogene Lösung:
\[𝑢_{Ch}(𝑡)=(𝑘_1\cos(𝜔_d𝑡)+𝑘_2\sin(𝜔_d𝑡))e^{−𝛿𝑡}\]종합해 Gesamte Lösung:
\[𝑢_{C}(𝑡)=(𝑘_1\cos(𝜔_d𝑡)+𝑘_2\sin(𝜔_d𝑡))e^{−𝛿𝑡} + 𝑈\]03-6 비주기적 특수한 경우 (Aperiodischer Grenzfall)
\(𝛿^2=𝜔^2_0\) 인 경우, (\(\Rightarrow \frac{R^2}{4L^2}-\frac{1}{LC}=0\) )
mit: \(p_1=p_2=-𝛿\)
균일해 Homogene Lösung:
\[𝑢_{Ch}(𝑡)=(𝑘_1+𝑘_2𝑡)e^{−𝛿𝑡}\]종합해 Gesamte Lösung:
\[𝑢_{C}(𝑡)=(𝑘_1+𝑘_2𝑡)e^{−𝛿𝑡} + 𝑈\]03-7 비주기적인 경우 (Aperiodischer Fall)
03-8 상수 결정 (Bestimmung der Konstanten)
03-8-1 주기적인 경우 (Periodischer Fall)
03-8-2 비주기적 특수한 경우 (Aperiodischer Grenzfall)
03-8-3 비주기적인 경우 (Aperiodischer Fall)
03-9 시간에 따른 전류 및 전압 (Zeitabhängiger Strom und Spannungsverlauf)
Periodischer Fall
Aperiodischer Grenzfall
Aperiodischer Fall
03-10 2차 미분 방정식의 실용적인 접근(Praktisches Vorgehen für DGL 2. Ordnung)***
-
미분방정식 설정 Aufstellen der Differenzialgleichung
-
특수해 결정 Bestimmen der partikulären Lösung
-
균일해 결정 Bestimmen der homogenen Lösung
– 접근 방법 Ansatz machen
– 미분 결정 Ableitungen bestimmen
– 특성 방정식 결정 charakteristische Gleichung aufstellen
– 고유값 결정 Bestimmung der Eigenwerte
– Fallunterscheidung
- 상수 결정 Bestimmen der Konstanten
03-11 일반적인 ODE 설정 (Aufstellen der DGL im Allgemeinen)
• 𝑛독립 에너지 저장소는 𝑛1차 미분방정식을 생성한다.
• 종속 에너지 저장소는 직렬 연결된 유도성 또는 병렬 연결된 용량이며 결합될 수 있다.
• 모든 1차 ODE를 요약하면 𝑛차 ODE가 생성된다.
• 𝑦(𝑡)는 네트워크에서 상태변수로 정의된다.
• ODE 𝑛차
\[\frac{d^n}{dt^n}y(t)+a_{n-1}\frac{d^{n-1}}{dt{n-1}}y(t)+\cdot+a_1\frac{d}{dt}y(t)+a_0y(t) = f(t)\]커패시터과 인덕턴스는 각각 전하와 자기장 에너지를 저장하는데 사용되는 구성 요소다. 이러한 구성 요소들은 전기회로에서 중요한 역할을 하며, 전류와 전압의 변화를 조절하고 제어한다.
만약 전기회로에 용량과 인덕턴스 두 개의 에너지 저장소가 있다면, 이는 각각 1차 미분 방정식으로 표현될 수 있다. 즉, 전하와 자기장 에너지의 변화율은 각각 용량과 인덕턴스의 값에 따라 변화한다.
이러한 두 개의 1차 미분 방정식을 조합하면, 전기회로 전체의 동작을 나타내는 미분 방정식을 얻을 수 있다. 이렇게 얻은 미분 방정식은 상태변수로 정의된 전압, 전류, 전하 등과 같은 다양한 변수들을 포함할 수 있으며, 시간의 변화에 따라 이러한 변수들이 어떻게 변하는지를 설명할 수 있다.
03-12 일반적인 특수해 Partikuläre Lösung im Allgemeinen
03-13 일반적인 균일해 Homogene Lösung im Allgemeinen
03-14 일반적인 특성 방정식 Charakteristische Gleichung im Allgemeinen
03-15 일반적인 고유값 및 상수 Eigenwerte und Konstanten im Allgemeinen
Quelle(text): Groundlagen zur Elektrotechnik, Technische Hochschule Mittelhessen Pdf datei ElectronicsTutorials
Quelle(image): Elektrische Netzwerke TU-Berlin pdf datei StuDoc pdf datei
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