[ELNW-a] 02 Ortskurven 문제

“Während ich studiere, schreibe ich hier kurze Zusammenfassungen für eine längere Erinnerung.”
Quellen für das Schreiben oder den Inhalt befinden sich normalerweise ganz unten.
"공부하면서 더 오래 상기시키기 위해 여기에 짧은 요약을 씁니다."
글이나 내용의 출처는 보통 하단에 있습니다.

00 (기본 내용 및 공식)

00-1 def. Ortskurve

def. Ortskurve: Menge aller Zeigerendpunkte bei Variation eines Parameters (zB. ω,L,R,C) in der Komplexen Ebene.

Ortskurve는 복소 평면에서 매개 변수 (예: ω, L, R, C)의 변화에 따른 모든 벡터 끝점의 집합을 말한다.

Anwendung: Z.B Nyquist-Stabilitätskriterium

Impedanzkurven: kreisfrequenz ω = 2πf variabel

00-2 Widerstand R, Induktivität L, Kapazität C

● Widerstand R: \(\underline{Z}_R=R\)

\[\begin{flalign} &\underline{Z}_R\mid _{ω=0}=R &&\\ &\underline{Z}_R\mid _{ω=∞}=R && \end{flalign}\]

● Induktivität L: \(\underline{Z}_L=jωL\)

\(\underline{Z}_L\mid _{ω=0}=0\)➨ das bedeutet.. wirkt wie kurzschluss
➨\(\underline{U}_L=jωL\cdot \underline{I}_{L} =0\) ➨ jωL=0

\(\underline{Z}_{L}\mid _{ω=∞}=j\cdot ∞\)➨ das bedeutet.. wirkt wie offene Klemme
➨\(\frac{\underline{U}_{L}}{jωL}\mid _{ω=0}=\underline{I}_{L} =0\)

● Kapazität C:\(\underline{Z}_C=-j\frac{1}{ωC}\)

\(\underline{Z}_C\mid _{ω=0}=-j∞\)➨ das bedeutet.. wirkt wie offene Klemme

\(\underline{Z}_{L}\mid _{ω=∞}=0\)➨ das bedeutet.. wirkt wie kurzschluss

00-3 직렬연결 Reihenschaltung, 병렬연결 Parallelschaltung

직렬연결 (Reihenschaltung): \(\underline{Z}_{ges} = \sum_{k=1}^{n}\underline{Z}_k\)

병렬연결 (Parallelschaltun)g: \(\frac{1}{\underline{Z}_{ges}} = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\underline{Z}_k}\)

⇒ \(\underline{Z}_{ges}=\frac{1}{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\underline{Z}_k}}\)
⇒ \(\underline{Y}_{ges}=\sum_{k=1}^{n}\underline{Y}_k\)

---

1. Aufgabe: 임피던스의 궤적곡선 Ortskurve der Impedanz (Impedanzkurve)

\[\begin{align} & C_1 = 100 nF, C_2 = 10nF, R_2 = 1kΩ\\ \end{align}\]

1.1. 질적 궤적곡선 Qualitative Ortskurve

Geben Sie rein qualitativ den Verlauf der Ortskurve der Impedanz \(\underline{Z}(f)\) an. Leiten Sie diese aus den Ortskurven der Teilimpedanzen \(\underline{Z}_1(f)\) und \(\underline{Z}_2(f)\) her. Siehe dazu auch Abbildung 1.

그림 1을 보고, 임피던스 Z(f)의 Ortskurve의 질적인 변화를 설명해라. 이를 Teilimpedanzen인 Z1(f)와 Z2(f)의 궤적곡선(Ortskurv)로 표현해라.

Lsg:

\[\begin{flalign} & \omega = 2\pi f &&\\ \\ & \underline{Z}_{ges}(ω) = \underline{Z}_1(ω) + \underline{Z}_2(ω) &&\\ \\ & ①\; \underline{Z}_1(ω) = -j\frac{1}{ωC_1}\\ \end{flalign}\] \[\begin{flalign} & ②\; \underline{Z}_2(ω) =\frac{1}{\frac{1}{\underline{Z}_{R_2}}+\frac{1}{\underline{Z}_{C_2}}} &&\\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{\frac{1}{\underline{Z}_{R_2}}+\frac{1}{\frac{1}{jωC_2}}} &&\\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{\frac{1}{R_2}+jωC_2} \cdot \frac{R_2}{R_2} &&\\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{R_2}{1+jωC_2R_2} \cdot \frac{1-jωC_2R_2}{1-jωC_2R_2} &&\\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{R_2}{1+ω^2(C_2R_2)^2} - j\frac{ωC_2R_2}{1+ω^2(C_2R_2)^2} &&\\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{R_2}{\sqrt{1+ω^2(C_2R_2)^2}}\cdot e^{-j\arctan(ωC_2)} &&\\ \\ \end{flalign}\]

1.2. 정량적인 궤적곡선 Ortskurve der Admittanz

Um die exakte Impedanzkurve für die Schaltung aus Abbildung 1 zeichnen (oder plotten) zu können, wird die Berechnung von Punkten auf der Kurve benötigt. Stellen Sie dafür zuerst allgemein die Formel für \(\underline{Z}(f)\) auf und trennen Sie diese nach Real- und Imaginärteil. Berechnen Sie anschließend für die quantitative Ortskurve die Zahlenwerte für \(\underline{Z}(f)\) an den Stellen f = 1kHz, 10kHz und 50kHz.

그림 1의 회로에 대한 정확한 임피던스커브를 그리거나 또는 그리기 위해, 곡선 위의 점들을 계산해야 한다. 이를 위해 \(\underline{Z}(f)\) 의 일반적인 공식을 작성하고, 실수부와 허수부로 분리해라. 그런 다음, 정량적인 궤적곡선(Ortskurv)에서 f = 1kHz, 10kHz 및 50kHz에서의 Z(f)의 숫자 값을 계산하라.

Lsg:

\[\begin{flalign} & \omega = 2\pi f &&\\ \\ & \underline{Z}_{ges}(ω) = \underline{Z}_1(ω) + \underline{Z}_2(ω) &&\\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= -j\frac{1}{ωC_1} + \frac{R_2}{1+ω^2(C_2R_2)^2} - j\frac{ωC_2R_2}{1+ω^2(C_2R_2)^2} &&\\ \\ & \underline{Z}_{ges}(f=1kHz) = 996.07 Ω -j \; 1.654 kΩ && \\ & \underline{Z}_{ges}(f=10kHz) = 716.96 Ω -j \; 609.63 Ω && \\ & \underline{Z}_{ges}(f=50kHz) = 92 Ω -j \; 320.86 Ω && \\ \end{flalign}\]

2. Aufgabe: 어드미턴스의 궤적곡선 Ortskurve der Impedanz (Impedanzkurve)

2.1. 질적 궤적곡선 Qualitative Ortskurve

Geben Sie rein qualitativ den Verlauf der Ortskurve der Admittanz \(\underline{Y}(f)\) an. Leiten Sie diese aus den Ortskurven der Teiladmittanzen \(\underline{Y}_3(f)\) und \(\underline{Y}_4(f)\) her. Siehe dazu auch Abbildung 3.

Lsg:

\[\begin{flalign} & \underline{Y}_{ges} = \underline{Y}_3 + \underline{Y}_4 &&\\ \\ & \underline{Y}_4 = \frac{1}{R_4} &&\\ \\ & \underline{Y}_3(ω) = \frac{1}{\underline{Z}_3(ω)} = \frac{1}{R_3+jωL_3+\frac{1}{jωC_3}} &&\\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \frac{1}{R_3+j(ωL_3-\frac{1}{ωC_3})} \; , \; \cdots \; ωL_3-\frac{1}{ωC_3} = 0 &&\\ \\ & \underline{Y}_3(ω=0) = 0 &&\\ & \underline{Y}_3(ω=∞) = 0 \end{flalign}\]

2.2. 정량적인 궤적곡선 Ortskurve der Admittanz

Stellen Sie allgemein die Formel für \(\underline{Y}(f)\). Trennen Sie dabei den Real- und den Imaginärteil. Berechnen Sie die Punkte auf der Admittanzkurve \(\underline{Y}(f)\) an den Stellen f = 0,1Hz, 1Hz und 20Hz.

Lsg:

\[\begin{flalign} & \underline{Y}_{ges}(f=0.1kHz) = 0.2307 \frac{1}{Ω} -j\;0.0243\frac{1}{Ω} && \\ & \underline{Y}_{ges}(f=1kHz) = 0.25\frac{1}{Ω}-j\;0.0024\frac{1}{Ω} && \\ & \underline{Y}_{ges}(f=20kHz) = 0.236\frac{1}{Ω}-j\;0.0225\frac{1}{Ω} && \\ \end{flalign}\]

---

3 기본적인 궤적곡선들

---

Quelle(text):
Groundlagen zur Elektrotechnik, Technische Hochschule Mittelhessen Pdf datei
ElectronicsTutorials

Quelle(image):
Elektrische Netzwerke TU-Berlin pdf datei
StuDoc pdf datei

\[\]